Vzájemná poloha tří přímek

Rozlišujeme devět vzájemných poloh tří přímek.

Abychom měli kompletní kapitolu o vzájemných polohách základních geometrických útvarů, přidáme ještě vzájemné polohy tří přímek, ačkoli ve středoškolských učebnicích se obvykle tato kapitola nevyskytuje.

Polohy, které bychom mohli také rozlišovat, jsou ty, kdy dvě přímky jsou totožné nebo všechny tři přímky jsou totožné. Tyto případy jsou však obsaženy v Kapitole 5.1.

Abychom nevynechali žádnou z možností vzájemných poloh tří přímek, tak vždy vezmeme jednu ze vzájemných poloh dvou přímek, Kapitola 5.1, a k nim budeme ve všech možných polohách přidávat přímku třetí.

Tranzitivnost rovnoběžnosti přímek

Pro tři přímky p, q, r platí: je-li p || q a současně q || r, potom i p || r.

Vzájemná poloha	Průsečíky	Číslo obrázku	Značení
Všechny tři rovnoběžné různé	žádné	obr. 1	(p \|\| q) (q \|\| r)
Dvě rovnoběžné různé, třetí s oběma různoběžná	dva	obr. 2	(p \|\| q) (pr} (qr)
Dvě rovnoběžné různé, třetí s jenou různoběžná a s druhou mimoběžná	jeden	obr. 3	(p \|\| q) (pr)(qr)
Dvě rovnoběžné různé, třetí s oběma mimoběžná	žádné	obr. 4	(p \|\| q) (pr) (qr)
Všechny tři různoběžné (pokud leží v jedné rovině mluvíme o svazku, pokud neleží, tak o trsu přímek)	jeden	obr. 5	(pq) (pr) (qr)
Všechny tři různoběžné, každé dvě mají jeden průsečík	tři	obr. 6	(pq) (pr) (qr)
Dvě různoběžné, třetí s oběma mimoběžná	jeden	obr. 7	(pq) (pr) (qr)
Všechny po dvou mimoběžné	žádné	obr. 8	(pq) (pr) (qr)
Dvě mimoběžné, třetí s oběma různoběžná	dva	obr. 9	(pq) (pr) (qr)

Obr. 1	Všechny tři přímky jsou rovnoběžné, nemají žádný společný bod.
Obr. 2	Dvě přímky jsou rovnoběžné a třetí je protíná, dva průsečíky.
Obr. 3	Dvě rovnoběžné různé, třetí s jenou různoběžná a s druhou mimoběžná.
Obr. 4	Dvě přímky jsou rovnoběžné a třetí je s oběma mimoběžná.
Obr. 5	Všechny tři přímky se protínají v jednom jediném bodě.
Obr. 6	Všechny přímky jsou navzájem různoběžné a to tak, že existují tři průsečíky.
Obr. 7	Dvě přímky se protínají v jednom bodě a třetí přímka je k oběma mimoběžná.
Obr. 8	Všechny tři přímky jsou po dvou mimoběžné, nemají žádný společný bod.
Obr. 9	Dvě přímky jsou mimoběžné a třetí přímka je protíná. Existují tedy dva průsečíky.

Úlohy

1. Na krychli ABCDEFGH jsou dány dvě přímky EH a BF. Určete k nim pomocí vrcholů krychle třetí přímku tak, aby existovaly dva průsečíky.

Řešením jsou přímky EF, HB, BE a HF.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

2. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete vzájemnou polohu přímek AD, BC a EF, určete společné body.

Přímky AD a BC jsou rovnoběžné různé, přímka EF je s oběma mimoběžná, nemají tedy žádné společné body.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

3. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete vzájemnou polohu přímek AC, GA a BF, určete společné body.

Přímky AC a GA jsou různoběžné, jejich průsečíkem je vrchol A, přímka BF je s oběma mimoběžná, nemá s nimi žádný společný bod.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

4. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Máme dány přímky HF a GE, určete pomocí vrcholů krychle třetí přímku tak, aby přímky měly tři průsečíky.

Řešením jsou přímky EF, FG, GH a HE.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

5. Máme dán čtyřboký jehlan ABCDV. Body K, L, M jsou po řadě středy hran AB, BV a DV. Určete vzájemnou polohu přímek KV, LM a AD.

Přímky jsou po dvou mimoběžné, nemají žádný společný bod.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

6. Máme dán jehlan ABCDV. Body K,L,M jsou po řadě středy hran AB, BC a CV. Určete k přímkám KL a BV třetí přímku pomocí dvou vrcholů tak, aby přímky měly dva průsečíky.

Řešením jsou přímky AB, BC a BD.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek